“鸽巢问题（一）”教学设计

“鸽巢问题（一）”教学设计

宁武实验小学    王成花

【设计理念】

本节课充分利用学生的生活经验，为学生自主探索提供时间和空间，引导学生通过观察、实验、推理和交流等活动，经历探究“抽屉原理”的过程，学会用一般性的数学方法思考问题，培养学生的数学思维能力，发展学生解决问题的能力。

【教学内容】

《义务教育教科书  数学》（人教版）六年级下册第68页例1。

【学情与教材分析】

在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生在同一天过生日。在这类问题中，只要确定某个物体（或某个人)的存在就可以了，并不需要指出是哪两个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。关于这类问题，学生在现实生活中已经积累了一定的感性经验，教学时，要充分利用学生的生活经验，让学生自主思考，先采用自己的方法进行证明，然后进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，让学生学会用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。

【教学目标】

 1.利用学生已有经验初步感受体验抽象的抽屉原理，激发学生学习的兴趣。

2.经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

3.通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

4.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

【教学重点】

经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

【教学难点】

通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

【教学流程】

创设情境，导入新知，游戏导入，让学生初步感知抽屉原理；自主操作，探究新知；练习设计，巩固新知；全课总结及反思回顾。

【教学准备】

多媒体课件、铅笔、文具盒等。

【教学过程】

一、创设情境，导入新知

老师组织学生做“抢凳子的游戏”。

请4位同学上来，摆开3张凳子。

老师宣布游戏规则：4位同学围着凳子转圈，老师喊“停”的时候，四个人每个人都必须坐在凳子上。

教师背对着游戏的学生，宣布游戏开始，然后叫“停”！

师：都坐下了吗？老师不用看，也知道肯定有一张凳子上至少坐着2位同学。老师说得对吗？

师：老师为什么说得这么肯定呢？

【学情预设：学生可能会说，因为只有3张凳子，却有4个人，肯定有一个人没有凳子坐，只好和另一个人挤在一张凳子上;也可能会说，有几个同学会在慌忙中挤在一张凳子上，有1张或2张凳子没人坐。】

师：在这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个原理。

【此环节针对目标1，设计意图为：学生在生活中已积累了有关这类问题的感性经验，从学生熟悉和喜爱的游戏引入，可以激活学生的生活经验，让学生利用已有的经验初步感知抽象的“抽屉原理”，将数学学习与现实生活紧密联系，提高学生的学习兴趣。】     

教学目标达成反馈及反思改进：

二、自主操作，探究新知

⒈观察猜测

多媒体出示例1：4枝铅笔，3个文具盒。

师：4个人坐3张凳子，不管怎么坐，总有一张凳子至少坐两个同学。4枝铅笔放进3个文具盒中呢？

    【学情预设：学生可能会说，不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔。】

师：真的是这样吗？为什么会这样呢？你能给大家解释这一现象吗？

⒉自主思考

（1）独立思考：怎样解释这一现象？

（2）小组合作，拿铅笔和文具盒实际摆一摆、放一放，看一共有几种情况?

【此环节针对目标2，设计意图为：先让学生观察、猜想，然后自己想办法“证明”自己的猜想。这样设计，给学生自主思考的时间和空间，在独立思考的基础上，再小组合作，把动脑思考与动手操作有机结合，把独立思考与小组合作有机结合，有利于提高探索活动的实效性。】

教学目标达成反馈及反思改进：

⒊交流讨论

学生汇报是用什么办法来解释这一现象的。

【学情预设：第一种：用实物摆一摆，把所有的摆放结果都罗列出来。

学生展示把4枝铅笔放进3个盒子里的几种不同摆放情况，教师根据学生摆的情况，有序板书：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

请学生观察不同的放法，能发现什么？

引导学生发现：每一种摆放情况，都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。也就是说不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

第二种：假设法。

教师请只摆了一种或没有摆放就能解释的同学说说自己的想法。

师：其他学生是否明白他的想法呢？

引导学生在交流中明确：可以假设先在每个文具盒中放1枝铅笔，3个文具盒里就放了3枝铅笔。还剩下1枝，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒中就有2枝铅笔了。也就是先平均分，每个文具盒中放1枝，余下1枝，不管放在哪个盒子里，一定会出现总有一个文具盒里至少有2枝铅笔。

第三种：数的分解。

请学生说一说自己的想法：把4分解成三个数，共有四种情况，（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。

随着学生的“证明”，教师将这种方法与第一种方法联系起来，指出这两种方法实质上的相同之处。

第四种：把同一种分解理解成三种不同的情况。

教师请学生汇报：

学生为文具盒编上序号，摆出（4，0，0）、（0，4，0）、（0，0，4）等12种情况。

教师指出在研究这一类问题时，不需要作这样的区分。把这种方法改正后并入第一种方法。】

【此环节针对目标2和3，设计意图为：尊重学生的个性思考，尊重学生的差异，给学生充分的展示交流的空间，教师针对学生的不同情况，作出不同的指导，充分发挥教师作为课堂教学组织者、引导者的作用。】

教学目标达成反馈及反思改进：

⒋比较优化。

请学生继续思考：

如果把5枝铅笔放进4个文具盒，结果是否一样呢？怎样解释这一现象？

【学情预设：学生可能会摆一摆、放一放、罗列出所有情况，（5，0，0）、（4，1，0）、（3、2，0）、（3，1，1）（2，2，1），每一种摆放情况，都一定有一个文具盒中至少有2支铅笔；也可能会用假设法来解释，先假设在每个文具盒中放入1支铅笔，4个文具盒就放了4支铅笔，剩下的1支铅笔不论放入哪个文具盒里，一定会出现总有一个文具盒中至少有2支铅笔。不论学生用哪种方法，教师都给予肯定。】

如果把6枝铅笔放进5个文具盒里呢？

【学情预设：大部分学生可能会意识到用操作的方法把所有的情况都列举出来太麻烦了，于是用假设法进行解释】

教师引导学生比较这两种证明方法：第一种（枚举）方法有什么优点和局限性？第二种（假设）方法有什么优点？

请学生继续思考：

把7枝铅笔放进6个文具盒里呢？

把10枝铅笔放进9个文具盒里呢？

把100枝铅笔放进99个文具盒里呢？

你发现了什么？

引导学生发现：只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，不论怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。

请学生继续思考：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多2呢？多3呢？多4呢？

你发现了什么？

引导学生发现：只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论都是成立的。

【此环节针对目标3和4，设计意图为：在学生自主探索的基础上，老师进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成数学思维。】

教学目标达成反馈及反思改进：

三、练习设计，巩固新知

⒈第70页“做一做”。

（1）课件出示：7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

（2）学生独立思考，自主探究。

（3）交流，说理。

⒉实验小学六（1）班第一组共有13名学生，一定至少有2名学生的生日在同一个月。

（1）学生理解题意，明白一年有12个月，共有13名学生。

（2）学生独立思考。

（3）交流。

【学情预设：这个问题相对来说比较抽象，可以利用多媒体计算机直观出示12个月的月历，引导学生将12个月作为“抽屉”，把13个人作为“待分的人”，化抽象为直观，帮助学生思考说理。】

⒊从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张扑克是同花色的。试一试，并说明理由。

（1）帮助学生理解题意：剩下的52张扑克有4种花色。

（2）学生思考，可以动手试一试。

（3）交流。

【学情预设：学生难以找到这个问题与“抽屉原理”之间的联系。教师可在多媒体计算机上直观出示4个方格，分别显示桃、杏、梅、方四种扑克牌花色，让学生借助直观图形进行说理。也可以拿出扑克牌，借助实物进行操作验证。】

【此环节针对目标2和4，设计意图为：“抽屉问题”的形式很多，应用更具灵活性。本节课的练习设计有层次性。第1题，学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。第2、3题学生需要经历将具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，提高数学学习的兴趣。】

教学目标达成反馈及反思改进：

四、全课总结，反思回顾

师：今天都有哪些收获？还有什么问题？

师总结。简要具体地评价学生的收获。

五、特色作业

从网上或课外书中了解狄利克雷最早提出的抽屉原理。

【板书设计】

                      鸽巢问题（一）

4支铅笔放进3个笔筒

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

（4，0，0）、（0，4，0）、（0，0，4）

5支铅笔放进3个笔筒

（5，0，0）、（4，1，0）、（3、2，0）、（3，1，1）（2，2，1）